Modélisation de programmes linéaires

Lors de la modélisation des programmes linéaires doivent d'abord plusieurs paramètres tels. Fois B. usinage de pièces ou de la capacité de la machine peuvent être déterminées. Au bout d'une fonction objectif est définie qui doit être maximisé, sous certaines contraintes. Dans la fonction objectif, il est souvent la fonction de profit que la maximisation des bénéfices nets pour les entreprises est un objectif clé. Les contraintes sont décrits par la rareté des ressources (par exemple. Comme la capacité, temps, espace). Après que vous pouvez résoudre le problème en utilisant la méthode simplex.

• Particulièrement facile à apprendre la procédure pour créer des modèles linéaires, si vous faites un exemple simple, supposons que vous avez trois machines M _1, M ₂ et M _3, dans lequel les deux produits P ₁ et P ₂ sont à réaliser. Les machines ont des capacités différentes, ainsi que le traitement d'un produit donné sur les machines prend une longueur différente et les produits finis finis coulés à partir d'un autre des profits élevés.
• WANTED est maintenant la maximisation des profits programme de production, de sorte que le programme de production, dans lequel le plus grand profit.

Exemple avec des valeurs numériques et l'introduction à la méthode simplex

Dans la prochaine étape, vous avez besoin des chiffres concrets pour la modélisation de votre problème. Supposons que encourue pour le traitement de P ₁ à ₁ M 2 heures sur M ₂ 3 heures et à ₃ M 4 heures. Pour P ₂ M sur _une chute 4 heures à 5 heures, et M ₂ M ₃ à 3 heures. Les capacités de la machine sont pour _M1 500 heures M pour ₂₃₀₀ heures et M3 600 heures. Les bénéfices pour le fini des produits finis P ₁ de 3 euros / pièce, pour le fini des produits finis P ₂ 4 euros / pièce.

1. Il est préférable de placer une table avec trois lignes et trois colonnes, qui vous devriez également laisser la place aux rubriques de lignes ou colonnes. Dans "colonne et une ligne 1" champ est par exemple, le temps d'usinage à partir de P ₁ à _{1 M,} dans la "colonne 2 et la ligne 3", le temps de traitement de ₂ à P _m3. Dans la colonne 3 sont la capacité des trois machines de l'équipement.
   
   
   
   
   

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2. Maintenant, vous devez définir deux variables x _1, x _2, correspondant aux quantités de P ₁ et P _{2 production.}
3. Ainsi, vous obtenez les contraintes 2x ₁ + 4x ₂ ≤ 500 (1-linge), 3x + ₁ 5x ₂ ≤ 300 (machine 2) et 4x ₁ + 3x ₂ ≤ 600 (machine 3). Il ya chaque inégalités parce que la capacité n'a pas à être pleinement exploité.
4. La fonction objectif à maximiser (profit) est G (x _1, x ₂₎ = ₁ + 3x 4x ₂ -> max.
5. En outre, demander au volume de la positivité x ₁ de _production, x ₂ ≥ 0. Vous voyez, toutes les équations sont des équations linéaires. Considérez cela ensemble, de sorte que vous avez un problème d'optimisation linéaire.

Optimisation linéaire et l'application de la méthode du simplexe

L'idée de la solution d'un programme linéaire est que les inégalités sont transformées par l'introduction de "variables d'écart" dans les équations et le problème d'optimisation modifié est résolu que LGS. La méthode du simplex est donc l'algorithme de Gauss pour résoudre LGS très similaire.

1. Exemple: un aéronef doit être chargé par trois produits G _1, G _2, G ₃ avec la valeur possible de fret total le plus élevé. Ceux-ci ont une superficie de 1, 0,2 ou 6 ^dm3, avoir un poids de 1, 0, 4 et 8 kg et d'une valeur de 10, 3 et 50 euros. Comment est l'avion idéal pour le chargement lorsque la soute est 2000dm ³ et il peut transporter un maximum de 3000 kg de fret?
2. Définir x _1, x _2, x _{3 et} les quantités de marchandises G _1, G _2, G ₃
3. Maintenant, vous pouvez configurer les contraintes de variables d'écart comme suit: x ₁ + 0,4x ₂ + 8x + ₃ x ₄ = 3000 et x ₁ + 0,2x ₂ + 6x + ₃ x ₅ = 2000. La fonction objectif (valeur de charge totale) est G (x _1, x _2, x ₃₎ = ₁ + 3x 10x + 50x _{2 3} -> max. Ceux-ci font ni en apportant toutes les variables sur une page _(G-2 10x _1-3X -50x ₃ = 0).
4. Ensuite, faire le tableau du simplexe. Il dispose de 3 lignes et 7 colonnes. Sur le côté gauche vous portez dans les colonnes x _1, x _2, x _3, x _4, x ₅ et G de la une des journaux. Sur le côté droit est la seule colonne b. Ci-après sont les quantités optimales de biens et de la valeur totale maximale de charge. La troisième ligne est la ligne de but. (Contrôle: dans les trois lignes des rubriques ci-dessus sont donc les numéros: Ligne 1: 1, 0,4, 8, 1, 0, 0, 3000, Ligne 2: 1, 0,2 6, 0, 1, 0, 2000, Ligne 3: -10, -3, -50, 0, 0, 1, 0).
5. Maintenant procéder comme décrit dans l'application de la méthode de Gauss pour résoudre un LGS. En rangée opérations changent la première ligne de l'étape 1 ou Ligne 2 envoyés et donc ajouter ceci à l'autre ligne, laissant seulement un 1 dans "Ligne 1 + Colonne 1" et un 0 à la «Ligne 2 + 1 colonne" se produit. Ainsi les valeurs dans la ligne de cible pour changer automatiquement.
6. Dans ce cas, vous pourriez multiplier exemple, la ligne 2 par -1 et en ajoutant à la ligne 1 et la ligne 2 multiplier par 10 et la ligne 3 en ajoutant (contrôle: ligne 1: 0, 0,2, 2, 1, -1, 0, 1000, en ligne 2: reste la même, la ligne 3: 0, 1, 10, 0, 10, 1, 20000).
7. Dans la deuxième étape que vous prenez avant de la colonne 2 et créé par la formation à la «Ligne 2 + 2 colonne" un 0, puis dans "la ligne 1 et la colonne 2" un 1. Il est à nouveau être observé que les changements de la ligne de but.
8. Les étapes de conversion seraient, par exemple la Ligne 1 multipliée par -1 et ajouter à la ligne 2 et multiplier la ligne 1 avec 5 et ajouter à la ligne 3 (contrôle: après avoir effectué les deux étapes se présenter: Ligne 1: 0, 1, 10, 5 , -5, 0, 5000, ligne 2: 1, 0, 4, -1, 2, 0, 1000 et Ligne 3: 0, 0, 20, 5, 5, 1 25,000).
9. Sur le côté droit du panneau que vous pouvez maintenant lire les solutions. Le résultat est une valeur totale de fret de 25.000 euros, sera transporté 5.000 unités de bonnes 1, 1000 unités de bonne 2 et aucune unité de bien. 3

Notez que dans la résolution du tableau du simplexe ne donne qu'une solution optimale lorsque disponibles exclusivement nombres positifs dans la ligne de cible sur le côté gauche après la dernière étape de formation. Le système que vous avez intériorisé après 2-3 d'autres exemples et peut résoudre ces tâches ludique à l'avenir.