Le développement d'une fonction dans une série Mac Laurinsche

Bien sûr, il ne peut pas y avoir de fonction dans une série de puissances. Plutôt, une fonction doit répondre à certains critères, de sorte que cette méthode peut être appliquée à tous. Parce que à peu près toutes les fonctions simples, que vous rencontrez dans la vie quotidienne, répondent à ces critères, cette étape est omise ici tout simplement. Cependant, vous verrez bientôt que la fonction regarda autour du site de développement doit être infiniment différentiables définitivement (condition nécessaire).

1. Supposons qu'une fonction arbitraire f peut clairement se développer dans une certaine série de puissance. Ensuite, cette fonction peut être représentée comme une fonction de puissance. Concerne: f (x) = a ₀ + a ₁ x ¹ + a ^₂ x ₂ + a + a ₄ x ⁴ + x _{3 ³} ...
2. Il ya d'abord le point x ₀ = 0 est considéré comme de développement. Dans la zone autour de ce point du développement, la fonction doit être infiniment différentiables.
3. Maintenant, vous pouvez déterminer les dérivées de la fonction. f '(x) = a ₁ + 2a + ₂ x ¹ x ² ₃ 3a 4a + ₄ x ³ + ..., f' '(x) = 2a + ₂ 6a ₃ x ¹ + ₄ x ² + 12a .. ., f '' '(x) = x ₃ + 6a ... + _{4 24a,} f' '' '(x) = ₄ + ... 24a
4. Puis, à la position de développement x ₀ = _0: f (0) = a _0, f '(0) = a _1, f' '(0) = 2 à _2, f' '' (0) = 6a _3, f ' '' '(0) = ₄ ... 24a
   
   
   
   
   03h49

   Établir équation fonctionnelle - il est donc possible pour un polynôme

   Les étudiants sont généralement pâle, quand il en vient à avoir une équation fonctionnelle ...

5. Si vous regardez les coefficients attentivement, vous remarquerez qu'ils se comportent comme la factorielle (Il est (n!) _N∈N = 1, 2, 6, 24, 120, ... et applique également (0!) = 1).
6. Gardez cela à l'esprit lors de l'élaboration de la fonction, se f (0) = (0!) A _0, f '(0) = (1!) A _1, f' '(0) = (2!) A _2, f '' '(0) = (3!) _3, f' '' '(0) = (4!) _quart
7. Maintenant, définissez à chacun selon le coefficient, alors vous obtenez un ₀ = f (0) / 0!, A ₁ = f '(0) / 1!, ₂ = f' '(0) / 2!, Un ₃ = f '' '(0) / 3!, un ₄ = f' '' '(0) / !, 4 ...
8. Vous voyez, les coefficients a _n satisfaire la Loi sur l'éducation a _n = f ⁽ⁿ⁾ (0) / n!
9. Vos nouveaux résultats peuvent maintenant être transférés à la fonction de sortie f, il est si f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X ¹ + [f' '(0) / 2]! x ² + [f '' '(0) / 3!] x ³ + [f' '' '(0) / 4!] x ⁴ + ... = Σ _{n = 0} [f ⁽ⁿ⁾ (0) / n!] x ^n. Cette interminable série appelée série Mac Laurinsche.
10. Que pouvez-vous gagner cette information maintenant? Vous devez pour toute fonction qui peut être développé dans une fonction de puissance, il suffit de définir les dérivations et vous êtes prêt à représenter cette fonction comme une série infinie.

Par exemple, le développement en série de puissance de f (x) = sin (x)

La meilleure façon de comprendre le schéma ci-dessus, si vous appliquez le même dans un exemple simple. Considérez ceci la fonction f (x) = sin (x). Comme vous le savez, cette fonction est infiniment différentiables.

1. Tout d'abord, déterminer les quatre premiers dérivés. Il est f '(x) = cos (x), f' '(x) = sin (x), f' '' (x) = cos (x), f '' '' (x) = sin (x) ... De là, il répète en quatre temps.
2. Maintenant, regardez le point de développement x ₀ = 0, alors il est f (0) = 0, f (0) = 1, f '' (0) = 0, f '' (0) = -1, f ' '' '(x) = 0 ...
3. Maintenant, ajoutez les rejets dans le nombre Mac Laurinsche un. f (x) = Σ _{n = 0} [f ⁽ⁿ⁾ (0) / n!] x ⁿ = x 0 + ^{1/1 + 3/3} x 0 ⁺ x 0 + ^{5.5 +} .. . = x ¹ / a ^3/3 1-x ⁺ x ⁵ /5!+...= Σ _{n = 0} (-1) ⁿ x ^{2 n + 1} / (2n + 1)!
4. Ainsi, vous obtenez une série alternée dont la convergence pourriez-vous prouver, par exemple avec le critère Leibniz. Chaque élément deuxième rangée tombe à cause du péché (0) = 0. Entièrement analogue, vous pouvez alimenter série de cosinus déterminer (Solution: Σ _{n = 0} (-1) ⁿ x ²ⁿ / (2n)).

Exemple: le développement de f (x) = ^x e comme une série de puissance

1. Le développement des e ^x comme une série de puissance est particulièrement simple. Il est f (x) = f ⁽ⁿ⁾ (x) = ^x e ∀ n∈N.
2. Procédez de la même manière avant, alors vous obtiendrez pour f ⁽ⁿ⁾ (0) = e ⁰ = 1 au numéro suivant: (! 1/1) (1/2) f (x) = 1 + x + ¹ x ² + (1/3!) x ³ + ... = Σ _{n = 0} x ⁿ / n!

Lauri de la série pour la série Mac Taylor

Lorsque le numéro de Mac Lauri vous avez seulement le point de développement spécial x ₀ = 0 est considéré. Dans l'étape suivante, cette restriction devrait être levée et tout point de développement x = x * être envisagée.

• En principe, vous faites les mêmes considérations que dans le calcul de la série du Mac Lauri.
• Pour obtenir le f de la série de puissance (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (Xx *) ¹ + (f' '(x *) / 2!) (Xx *) ² + (f '' '(x *) / 3! (xx *) ³ + ... = Σ _{n = 0} [f ⁽ⁿ⁾ (x *) / n!] (xx *) ⁿ * x comme point de développement.

Pour x * = 0 la série de Taylor qui se passe dans la série Mac Laurinsche. Le nombre Mac Laurinsche est un cas particulier de la série de Taylor. Dans la pratique, la série de Taylor est beaucoup plus répandue que la série Mac Laurinsche depuis un centre de développement arbitraire est possible. Mais pour une meilleure compréhension et pour la dérivation, il est utile de considérer d'abord la version plus simple de la série.